Trigonometría
5.1 ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS
Decimos que un ángulo es la abertura que hay entre dos rectas (o segmentos) que se cortan en un punto llamado vértice.
-Los lados del ángulo son las semirrectas que lo forman.
- El vértice del ángulo es el punto común que es origen de los lados.
Los ángulos pueden nombrarse utilizando letras griegas. Por ejemplo:
Tipo de Ángulos
Observaremos que hay diferentes tipos de ángulos. Los definimos a continuación:
Ángulo recto: es el ángulo formado por dos rectas dispuestas perpendicularmente.
Ángulo agudo: es un ángulo menor que un ángulo recto.
Ángulo llano: es el ángulo formado por dos rectas planas.
Ángulo completo: es el ángulo formado por dos rectas superpuestas.
Ángulo cóncavo: es un ángulo mayor que un ángulo obtuso pero menor que un ángulo completo.
Grado sexagesimal (°):
Si se divide la circunferencia en 360 partes iguales, el ángulo central correspondiente a cada una de sus partes es un ángulo de un grado (1°) sexagesimal.
Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos ('')
Es la medida de un ángulo cuyo arco mide un radio
2π rad = 360°
π rad = 180°
30º
rad
/3 rad º
El ángulo A está formado por la hipotenusa y el cateto CA . Decimos que el cateto CA es adyacente al ángulo A. Decimos que el cateto BC es el lado opuesto al ángulo A. En otras palabras, el cateto
adyacente es el lado que forma parte del ángulo; el cateto opuesto es el lado que no forma parte del ángulo.
Ten en cuenta que las palabras “opuesto” y “adyacente” dependen de qué ángulo se está tratando. El lado opuesto al ángulo no necesariamente es la altura del triángulo.
Cada cateto en un triángulo rectángulo es adyacente a uno de los ángulos agudos y opuesto al otro ángulo agudo.
Función Seno
Las características fundamentales de la función seno son las siguientes:
1) Su dominio es R y es continua.
2) Su recorrido es [- 1, 1] ya que - 1 ≤ sen x ≤ 1 .
3) Corta al eje X en los puntos k·π con k∈Z .
Corta al eje Y en el punto (0, 0) .
4) Es impar, es decir, simétrica respecto al origen.
sen (- x) = - sen (x)
5) Es estrictamente creciente en los intervalos de la forma (a, b) donde a = - π/2 + 2·k·π y b = π/2 + 2·k·π siendo k∈Z .
Es estrictamente decreciente en los intervalos de la forma (a, b) donde a = π/2 + 2·k·π y b = 3π/2 + 2·k·π siendo k∈Z .
6) Tiene infinitos máximos relativos en los puntos de la forma (π/2 + 2·k·π, 1) con k∈Z .
Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos de la forma (3π/2 + 2·k·π, - 1) con k∈Z .
7) Es periódica de periodo 2π .
sen (x) = sen (x + 2π)
La función f(x) = sen (k·x) es periódica de periodo p = 2π/k
Para |k|>1 el periodo disminuye y para 0 < |k| <1 el periodo aumenta.
8) Está acotada superiormente por 1 e inferiormente por - 1
La función seno asocia a cada número real, x, el valor del seno del ángulo cuya medida en radianes es x.
Función Coseno
3) Corta al eje X en los puntos π/2 + k·π con k∈Z .
Corta al e Y en el punto (0, 1) .
4) Es par, es decir, simétrica respecto al eye Y.
cos (x) = cos (- x)
5) Es estrictamente creciente en los intervalos de la forma (a, b) donde a = - π + 2·k·π y b = 0 + 2·k·π siendo k∈Z .
Es estrictamente decreciente en los intervalos de la forma (a, b) donde a = 0 + 2·k·π y b = π + 2·k·π siendo k∈Z .
6) Tiene infinitos máximos relativos en los puntos de la forma (2·k·π, 1) con k∈Z .
Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos de la forma (π + 2·k·π, - 1) con k∈Z .
7) Es periódica de periodo 2π .
cos (x) = cos (x + 2π)
La función f(x) = cos (k·x) es periódica de periodo p = 2π/k
Para |k|>1 el periodo disminuye y para 0< |k| <1 el periodo aumenta.
8) Está acotada superiormente por 1 e inferiormente por - 1.
La función coseno asocia a cada número real, x, el valor del coseno del ángulo cuya medida en radianes es x.
Función Tangente
Las características fundamentales de la función tangente son las siguientes:
1) Su dominio es R - {π/2 + k·π con k∈Z} .
2) Es discontinua en los puntos π/2 + k·π con k∈Z .
3) Su recorrido es R .
4) Corta al eje X en los puntos k·π con k∈Z .
Corta al eje Y en el punto (0, 0) .
5) Es impar, es decir, simétrica respecto al origen.
tg (- x) = - tg (x)
6) Es estrictamente creciente en todo su dominio.
7) No tiene máximos ni mínimos.
8) Es periódica de periodo π .
tg (x) = tg (x + π)
La función f(x) = tg (k·x) es periódica de periodo p = π/k
Para |k|>1 el periodo disminuye y para 0< |k| <1 el periodo aumenta.
9) Las rectas y = π/2 + k·π con k∈Z son asíntotas verticales.
10) No está acotada.
N.D. : No Definida
Función Secante
Las características fundamentales de la función secante son las siguientes:
1) Su dominio es R - {π/2 + k·π} con k∈Z .
2) Su recorrido es R - (- 1, 1) .
3) No corta al eje X.
Corta al eje Y en el punto (0, 1) .
4) Es par, es decir, simétrica respecto al eje Y.
sec (- x) = sec (x)
5) Tiene infinitos máximos relativos en los puntos de la forma (π + 2·k·π, - 1) con k∈Z .
Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos de la forma (2·k·π, 1) con k∈Z .
6) Es periódica de periodo 2π .
sec (x) = sec (x + 2π)
7) Tiene asíntotas verticales en los puntos de la forma x = π/2 + k·π con k∈Z .
8) No está acotada
Función Cosecante
Las características fundamentales de la función cosecante son las siguientes:
1) Su dominio es R - {k·π} con k∈Z .
2) Su recorrido es R - (- 1, 1) .
3) No corta al eje X ni al eje Y.
4) Es impar, es decir, simétrica respecto al origen.
cosec (- x) = - cosec (x)
5) Tiene infinitos máximos relativos en los puntos de la forma (- π/2 + 2·k·π, - 1) con k∈Z .
Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos de la forma (π/2 + 2·k·π, 1) con k∈Z .
6) Es periódica de periodo 2π .
cosec (x) = cosec (x + 2π)
7) Tiene asíntotas verticales en los puntos de la forma x = k·π con k∈Z .
8) No está acotada.
Las identidades pitagóricas son producto de la aplicación del Teorema de Pitágoras con las razones en Trigonometría:
Las identidades recíprocas se obtienen al llevar a cabo el producto entre dos razones recíprocas, por ejemplo seno y cosecante:
Las identidades cocientes se llaman así pues cada una de ellas representa la división o cociente entre otras dos razones trigonométricas:
Simplifique la expresión usando identidades trigonométricas.
Reescriba tan como sin/cos.
Ejemplo:
Sabiendo que sen α = 3/5, y que 90º <α <180°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.
-Los lados del ángulo son las semirrectas que lo forman.
- El vértice del ángulo es el punto común que es origen de los lados.
Los ángulos pueden nombrarse utilizando letras griegas. Por ejemplo:
Tipo de Ángulos
Observaremos que hay diferentes tipos de ángulos. Los definimos a continuación:
Ángulo recto: es el ángulo formado por dos rectas dispuestas perpendicularmente.
Ángulo agudo: es un ángulo menor que un ángulo recto.
Ángulo llano: es el ángulo formado por dos rectas planas.
Ángulo obtuso: es un ángulo menor que un ángulo llano pero mayor que un ángulo recto.
Ángulo cóncavo: es un ángulo mayor que un ángulo obtuso pero menor que un ángulo completo.
Medidas de Ángulos
Para medir ángulos se utilizan las siguientes unidades:
Si se divide la circunferencia en 360 partes iguales, el ángulo central correspondiente a cada una de sus partes es un ángulo de un grado (1°) sexagesimal.
Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos ('')
Radián (rad):
2π rad = 360°
π rad = 180°
30º
rad |
/3 rad º |
5.2 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ELEMENTALES
Las funciones trigonométricas se construyen a partir del estudio de los triángulos rectángulos, existiendo seis funciones elementales, tres de ellas consideradas como primordiales básicas (funciones seno, coseno y tangente) y las otras como reciprocas de las segundas (funciones cosecante, secante y cotangente).
El ángulo A está formado por la hipotenusa y el cateto CA . Decimos que el cateto CA es adyacente al ángulo A. Decimos que el cateto BC es el lado opuesto al ángulo A. En otras palabras, el cateto
Ejemplo
| ||
| Problema | ¿Cuáles son las longitudes de los lados opuesto al ángulo X y adyacente al ángulo X? | |
 | El lado opuesto al ángulo X es  . Su longitud es 3. El lado adyacente al ángulo Xes  . Su longitud es 4. | |
| Respuesta |
longitud del lado opuesto: 3
longitud del lado adyacente: 4
| |
Ten en cuenta que las palabras “opuesto” y “adyacente” dependen de qué ángulo se está tratando. El lado opuesto al ángulo no necesariamente es la altura del triángulo.
Cada cateto en un triángulo rectángulo es adyacente a uno de los ángulos agudos y opuesto al otro ángulo agudo.
Función Seno
Las características fundamentales de la función seno son las siguientes:
1) Su dominio es R y es continua.
2) Su recorrido es [- 1, 1] ya que - 1 ≤ sen x ≤ 1 .
3) Corta al eje X en los puntos k·π con k∈Z .
Corta al eje Y en el punto (0, 0) .
4) Es impar, es decir, simétrica respecto al origen.
sen (- x) = - sen (x)
5) Es estrictamente creciente en los intervalos de la forma (a, b) donde a = - π/2 + 2·k·π y b = π/2 + 2·k·π siendo k∈Z .
Es estrictamente decreciente en los intervalos de la forma (a, b) donde a = π/2 + 2·k·π y b = 3π/2 + 2·k·π siendo k∈Z .
6) Tiene infinitos máximos relativos en los puntos de la forma (π/2 + 2·k·π, 1) con k∈Z .
Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos de la forma (3π/2 + 2·k·π, - 1) con k∈Z .
7) Es periódica de periodo 2π .
sen (x) = sen (x + 2π)
La función f(x) = sen (k·x) es periódica de periodo p = 2π/k
Para |k|>1 el periodo disminuye y para 0 < |k| <1 el periodo aumenta.
8) Está acotada superiormente por 1 e inferiormente por - 1
La función seno asocia a cada número real, x, el valor del seno del ángulo cuya medida en radianes es x.
Función Coseno
Las características fundamentales de la función coseno son las siguientes:
1) Su dominio es R y es continua.
2) Su recorrido es [- 1, 1] ya que - 1 ≤ cos x ≤ 1 .3) Corta al eje X en los puntos π/2 + k·π con k∈Z .
Corta al e Y en el punto (0, 1) .
4) Es par, es decir, simétrica respecto al eye Y.
cos (x) = cos (- x)
5) Es estrictamente creciente en los intervalos de la forma (a, b) donde a = - π + 2·k·π y b = 0 + 2·k·π siendo k∈Z .
Es estrictamente decreciente en los intervalos de la forma (a, b) donde a = 0 + 2·k·π y b = π + 2·k·π siendo k∈Z .
6) Tiene infinitos máximos relativos en los puntos de la forma (2·k·π, 1) con k∈Z .
Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos de la forma (π + 2·k·π, - 1) con k∈Z .
7) Es periódica de periodo 2π .
cos (x) = cos (x + 2π)
La función f(x) = cos (k·x) es periódica de periodo p = 2π/k
Para |k|>1 el periodo disminuye y para 0< |k| <1 el periodo aumenta.
8) Está acotada superiormente por 1 e inferiormente por - 1.
La función coseno asocia a cada número real, x, el valor del coseno del ángulo cuya medida en radianes es x.
Función Tangente
Las características fundamentales de la función tangente son las siguientes:
1) Su dominio es R - {π/2 + k·π con k∈Z} .
2) Es discontinua en los puntos π/2 + k·π con k∈Z .
3) Su recorrido es R .
4) Corta al eje X en los puntos k·π con k∈Z .
Corta al eje Y en el punto (0, 0) .
5) Es impar, es decir, simétrica respecto al origen.
tg (- x) = - tg (x)
6) Es estrictamente creciente en todo su dominio.
7) No tiene máximos ni mínimos.
8) Es periódica de periodo π .
tg (x) = tg (x + π)
La función f(x) = tg (k·x) es periódica de periodo p = π/k
Para |k|>1 el periodo disminuye y para 0< |k| <1 el periodo aumenta.
9) Las rectas y = π/2 + k·π con k∈Z son asíntotas verticales.
10) No está acotada.
N.D. : No Definida
Función Secante
Las características fundamentales de la función secante son las siguientes:
1) Su dominio es R - {π/2 + k·π} con k∈Z .
2) Su recorrido es R - (- 1, 1) .
3) No corta al eje X.
Corta al eje Y en el punto (0, 1) .
4) Es par, es decir, simétrica respecto al eje Y.
sec (- x) = sec (x)
5) Tiene infinitos máximos relativos en los puntos de la forma (π + 2·k·π, - 1) con k∈Z .
Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos de la forma (2·k·π, 1) con k∈Z .
6) Es periódica de periodo 2π .
sec (x) = sec (x + 2π)
7) Tiene asíntotas verticales en los puntos de la forma x = π/2 + k·π con k∈Z .
8) No está acotada
N.D. : No Definida
Función Cosecante
Las características fundamentales de la función cosecante son las siguientes:
1) Su dominio es R - {k·π} con k∈Z .
2) Su recorrido es R - (- 1, 1) .
3) No corta al eje X ni al eje Y.
4) Es impar, es decir, simétrica respecto al origen.
cosec (- x) = - cosec (x)
5) Tiene infinitos máximos relativos en los puntos de la forma (- π/2 + 2·k·π, - 1) con k∈Z .
Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos de la forma (π/2 + 2·k·π, 1) con k∈Z .
6) Es periódica de periodo 2π .
cosec (x) = cosec (x + 2π)
7) Tiene asíntotas verticales en los puntos de la forma x = k·π con k∈Z .
8) No está acotada.
N.D. : No Definida
5.5 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones. Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas
Algunas de las identidades trigonométricas más comúnmente usadas se derivan del teorema de Pitágoras , como las siguientes:
Algunas de las identidades trigonométricas más comúnmente usadas se derivan del teorema de Pitágoras , como las siguientes:
Las identidades pitagóricas son producto de la aplicación del Teorema de Pitágoras con las razones en Trigonometría:
- cos2 α + sen2 α = 1
- sec2 α = 1 + tan2 α
- csc2 α = 1 + cotg2 α
Las identidades recíprocas se obtienen al llevar a cabo el producto entre dos razones recíprocas, por ejemplo seno y cosecante:
- sen α= 1/csc α
- cos α= 1/sec α
- tan α= 1/ cotg α
- csc α= 1/sen α
- sec α= 1/cos α
- cotg α= 1/tan α
Las identidades cocientes se llaman así pues cada una de ellas representa la división o cociente entre otras dos razones trigonométricas:
- tan u= sen u/ cos u
- cotg u= sen u/ cos u
Ejemplo:
Reescriba tan como sin/cos.
Usando la identidad pitagórica fundamental, obtenemos
Ejemplo:
Sabiendo que sen α = 3/5, y que 90º <α <180°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.
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