Geometría Analítica en el Plano
PUNTOS Y RECTAS
Desarrollo Puntos y Rectas
¿Qué es un punto?
El punto es el elemento base de la geometría, ente fundamental, porque con él determinamos las rectas y los planos. Podemos definirlo también, como la intercesión de dos líneas. Sirve para indicar una posición y no tiene dimensión.
¿Qué es una recta?
Una recta es una sucesión ininterrumpida de puntos con una misma dirección, por lo tanto sólo tiene una dimensión. Dos puntos determinan una recta la recta es infinita, no posee ni principio ni fin.
La recta tienen una dimensión, la longitud.
Tipos de rectas
- Recta: La recta propiamente dicha se caracteriza porque los puntos que la forman están en la misma dirección. Tiene una sola dirección y dos sentidos. No se puede medir.
- Semirrecta: Es línea recta que tiene origen pero no tiene fin, tiene sólo un sentido, y no se puede medir.
- Segmento: Un segmento es una línea recta que tiene principio y fin, un segmento se puede medir.
- Poligonal: Se llama recta poligonal aquella que está formada por varias porciones de rectas que están unas a continuación de otras, pero no están alineadas, la línea poligonal puede ser abierta (cuando ningún extremo se une) o cerrada (cuando el primer extremo se une con el último). La línea poligonal cerrada forma una figura plana que se llama polígono.
- Curva:Una curva está formada por puntos que están en distinta dirección. Puede ser curva abierta (los externos no se unen) curva cerrada (cuyos extremos se unen) y curva mixta (formada por lineas rectas y curvas unidas)
Posiciones de las rectas:
- Dos rectas son paralelas: si no tienen ningún punto en común.
- Dos rectas son secantes: cuando tienen un punto en común.
- Dos rectas son perpendiculares: cuando al cortarse forman cuatro ángulos rectos.
Posición de las rectas en el espacio
- Horizontal
- Vertical
- Inclinada
La linea curva puede ser:
- Circunferencia, es una curva regular cerrada, cuyos puntos están todos a la misma distancia de otro llamado centro.
- Elípse, es una curva regular cerrada que se diferencia de la anterior porque la suma de la distancia de cada uno de sus puntos respecto a otros dos que están en su interior es siempre igual.
- Espiral es una curva regular abierta que gira sobre sí misma.
- Parábola es una curva regular abierta, cada uno de sus puntos está a una distancia siempre igual de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz.
10.2 CIRCUNFERENCIA
La circunferencia es una figura geométrica cerrada cuyos puntos están a una distancia constante r, llamada radio, del centro (C).
La circunferencia es el perímetro del círculo.
También es un tipo de cónica, obteniéndose como la intersección de un cono y un plano paralelo a la base de éste.
Elementos de la circunferencia
Los principales elementos de la circunferencia son:
- Centro: el centro C es el punto interior que está a una distancia r de todos los puntos de la circunferencia.
- Radio: es el segmento r que une el centro (C) de la circunferencia con cualquiera de sus puntos.
- Diámetro: segmento D que une dos puntos de la circunferencia y que pasa por el centro (C). Su longitud es el doble que la del radio.
- Cuerda: es un segmento K que une dos puntos de la circunferencia sin necesidad de pasar por el centro.
- Arco: es la parte de la circunferencia que queda entre los dos extremos de una cuerda (a).
- Ángulo central: es el ángulo entre dos segmentos que van del centro a dos puntos de la circunferencia (α)
- Punto interior: punto que está dentro de la circunferencia (I), encontrándose a una distancia del centro menor que r.
- Punto exterior: puntos que están fuera de la circunferencia (E), es decir, a una distancia del centro mayor que r.
Ecuación de la circunferencia
Los puntos de la circunferencia (x,y) son aquellos que cumplen la ecuación:
Esta ecuación reúne todos los puntos (x,y) que están a una distancia r del centro C.
En el caso particular de la circunferencia de centro (0,0), su ecuación viene dada por:
ECUACIÓN PARAMÉTRICA DE LA CIRCUNFERENCIA
Los puntos (x,y) de la circunferenciatambién se pueden expresar a partir de el ángulo (θ) del punto a través de la circunferencia respecto al eje de coordenadas x, mediante la ecuación paramétrica. El ángulo se puede expresar radianes (θ∈[0,2π]) o grados sexagesimales(θ∈[0º,360º]).
Es decir, la fórmula reducida de la ecuación paramétrica es:
Longitud de la circunferencia
La longitud de la circunferencia es igual a dos veces el radio (r) por π, o lo que es lo mismo, el diámetro (D) de la circunferencia por π.
El concepto “longitud de la circunferencia” es igual al del “perímetro del círculo” y miden lo mismo.
Área de la circunferencia
La circunferencia no tiene área. La circunferencia es el perímetro del círculo. En todo caso, existe el área comprendida dentro de la circunferencia, o lo que es lo mismo, el área del círculo. La fórmula de ésta es:
Ejemplo:
10.3 PARÁBOLA
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo, llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
La parábola es una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto con un plano que corta a la base del mismo, oblicuo a su eje y paralelo a una directriz g.
El foco y la directriz determinan cómo va a ser la apariencia de la parábola (en el sentido de que será más o menos abierta según sea la distancia entre F y la directriz).
Una de las aplicaciones físicas más importantes de la parábola es el movimiento parabólico. Este movimiento se caracteriza porque una partícula o cuerpo sólido lanzado en un campo gravitatorio recorre una trayectoria parabólica.
Una aplicación práctica de la parábola son las antenas parabólicas, en las que todas las rectas paralelas al eje de la parábola se reflejan en el foco de la misma. (Empleado en óptica, antenas de transmisión de radiofrecuencia, estufas domésticas parabólicas, captación de energía solar, etc.)
Los elementos de la parábola son:
- Foco: el foco F es el punto fijo. Los puntos de la parábola equidistan del foco y la directriz.
- Directriz: es la recta fija D. Los puntos de la parábola equidistan de la directriz y el foco.
- Radio vector: es el segmento R que une el foco con cada uno de los puntos de la parábola.
- Eje: es la recta E perpendicular a la directriz que pasa por el foco.
- Parámetro: es el vector p, que va desde el foco al punto más próximo de la directriz
- Vértices: es el punto V de la intersección del eje y la parábola.
- Puntos interiores y exteriores: la parábola divide el plano en dos regiones. Los puntos que están en la región del foco se llaman puntos interiores (I), mientras que los otros son los exteriores (J).
ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA
La ecuación de la parábola depende de si el eje es vertical u horizontal. Si el eje es vertical, la y será la variable dependiente. Si el eje es horizontal, será x la variable dependiente.
Eje vertical
La ecuación de la parábola a partir del vértice siendo el eje vertical es:
La ecuación general de la parábola con el eje vertical es la siguiente:
El parámetro a indica lo “abierta” que es la parábola. Si el parámetro aes positivo, el vértice será el mínimo de la parábola. Si a es negativo, será el máximo.
Eje horizontal
La ecuación de la parábola a partir del vértice siendo el eje horizontal es:
La ecuación general de la parábola con el eje horizontal es la siguiente:
El parámetro a indica lo “abierta” que es la parábola.
ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA
Los casos anteriores donde el eje es vertical u horizontal, son casos particulares de la ecuación general de la parábola.
Ejemplos:
*Dada la parábola 
, calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
, calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
*Dada la parábola 
, calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
, calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
*Dada la parábola 
, calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
, calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
10.4 ELIPSE
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante. Es decir, para todo punto a de la elipse, la suma de las distancias d1 y d2 es constante.
También podemos definir la elipsecomo una cónica, consecuencia de la intersección de un cono con un plano oblicuo que no corta la base.
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Elementos de una elipse
Los elementos más importante de la elipse son:- Focos: son los puntos fijos F1 y F2 que generan la elipse. La suma de las dos distancias de cualquier punto de la elipse a los dos focos (d1 y d2) es constante.
- Distancia focal (2c): distancia entre los dos focos. F1F2=2c. c es la semidistancia focal.
- Centro: es el punto medio de los dos focos (O).
- Semieje mayor: longitud del segmento OI o OK (a). La longitud es mayor (o igual en el caso de la circunferencia) a la del semieje menor. La suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los focos es constante y ésta es igual a dos veces el semieje mayor:
Semieje menor: longitud del segmento OJ o OL (b). Ambos semiejes son los dos ejes de simetría de la elipse. Se cumple que:
Como vemos en el dibujo, esta relación cumple el teorema de Pitágoras.
- Radios vectores: los radios vectores de cualquier punto de la elipse (P=(x,y)) son los dos segmentos que lo unen con los dos focos. PF1 y PF2 (en el dibujo, d1 y d2).
- Vértices: son los puntos resultantes de la intersección de la elipse con la recta que pasa por los focos, F1F2, y su perpendicular que pasa por el centro. Es decir, son los puntos I, J, K y L
Ecuación de una elipse
Los puntos pertenecientes a la elipse(x,y) son los puntos del plano que cumplen que la suma de su distancia a los dos focos es constante. La ecuación de la elipse es la siguiente:
En el caso de que la elipse esté centrada (el centro es el punto (0,0)), la ecuación es:
Área de una elipse
El área comprendida dentro de una elipse es π veces el producto de los dos semiejes (a y b).
En el caso de que los dos semiejes sean iguales (r=a=b), su fórmula es la misma que el área comprendida dentro de una circunferencia (o lo que es lo mismo, el área del círculo):
Perímetro de una elipse
El cálculo del perímetro de la elipse(o longitud de la elipse) es muy difícil, aunque no lo parezca. Requiere de integrales complicadas para su cálculo. Existen fórmulas que aproximan el cálculo hasta valores bastante exactos. Existe una aproximación con menos del 5% de error, siempre que el semieje mayor (a) no sea mucho más grande que el menor (b):
El matemático Ramanujan dio una aproximación más exacta que la anterior :
Excentricidad de la elipse
La excentricidad de una elipse (e) es un valor que determina la forma de la elipse, en el sentido de si es más redondeada o si se aproxima a un segmento. Sea c la semidistancia focal y ael semieje mayor:
La excentricidad puede tomar valores entre 0 y 1 (0≤e≤1). Es 0 cuando la elipse es una circunferencia. En este caso los semiejes mayor y menor son iguales y los focos (F1 y F1) coinciden en el centro de la elipse. Cuando la excentricidad crece y tiende a 1, la elipse se aproxima a un segmento.
Existe otra fórmula que calcula la excentricidad a partir de los dos semiejes (a y b).
Esta fórmula se obtiene a partir de la anterior ya que se cumple que:
Ejemplo:
Semieje mayor:
Semidistancia focal:
Semieje menor:
Ecuación reducida:
Excentricidad:
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