Reforzando los Conocimientos

En primer lugar damos la definición de relación de orden. Definición 1    Una relación   es de orden si es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Ejemplos típicos de relaciones de orden, de entre los ya estudiados anteriormente en esta asignatura o en cursos precedentes, podemos citar la implicación lógica entre clases de equivalencia de proposiciones lógicas, la contención entre conjuntos, la desigualdad entre números, la relación de divisibilidad entre números naturales, o la comparación de cardinales entre clases de conjuntos equipotentes (con el mismo cardinal). Las relaciones de orden se suelen llamar también de  orden parcial , en contraposición a lo que se llama  orden total , que definimos a continuación. Definición 2    Una relación de orden   se llama orden total si De todos los ejemplos citados anteriormente, solamente las desigualdades entre números y la comparación de cardinales son órdenes totales, el resto son s...

Sí en una multiplicación los factores se repiten, la operación se puede abreviar utilizando exponentes. Ejemplo:  En la operación de multiplicar: 7x7x7x7x7  El número 7 se repite cinco veces, por lo que se expre¬sa: 75, donde el 7 se denomina base y el 5, exponente y la operación recibe el nombre de potenciación. La potenciación de un número a que pertenece a los R cumple con las siguientes leyes de los exponentes: Cualquier número distinto al cero elevado a un expo-nente cero es igual a uno. Ejemplos: 7o = 1 ,15° = 1, ( - 8 )° =1 Si el exponente de un número entero negativo es impar, la potencia es negativa. Ejemplos: ( - 2 )5 = - 32, ( - 4 )3 = - 64 Sí el exponente de un número entero negativo es par, la potencia es positiva. Ejemplos: ( - 3 )2 = + 9, ( - 10 )4 = 10 000 Sí a y b e R; m y n e R Entonces:  Sí n > m, entonces el exponente es positivo; Sí n < m, entonces el exponente es negativo; y Sí n = m, entonces el exponente es cero y el resultado...

l conjunto de los números naturales, es el conjunto más básico y está formado por los números enteros del 1 al infinito, y que se representan como  N= {1, 2, 3, 4, 5,…, n, n+1} El conjunto de los números primos, que son todos los números naturales con la propiedad de que solo son divisibles entre sí mismos y la unidad y son P =  {1, 2, 3, 5, 7,  11,…} El conjunto de los números enteros que son todos los números naturales, el número 0 y los números enteros negativos. El conjunto de números naturales son el conjunto de los números enteros positivos, por lo que los números naturales son un subconjunto de los números enteros, se representan con la letra E  y son {-n – 1, -n,…, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…, n, n+1} El conjunto de los números racionales, que se representa con la letra Q y que está formado por todos los números enteros y el cociente entre dos números enteros con el denominador diferente de 0, este conjunto se representa como Q={a/b en donde a y b son números enter...

Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René  Descartes  para designar una  potencia  xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello.  Dos  variables  X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un  valor  a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X.  La variable X, a la que se asignan libremente  valores , se llama variable independiente...

(Relación.) Sean A y B conjuntos. Un subconjunto R del producto cartesiano A × B se llama una relación de A en B. Es decir R es una relación de A en B si R ∈ P(A × B). Ejemplos: Sean A = {a, b, c}, B = {1, 2}. Entonces R1 = {(a, 1),(b, 1),(b, 2)}, R2 = {(a, 2),(b, 2),(c, 1),(c, 2)}, R3 = ∅ y R4 = A × B son ejemplos de relaciones de A en B, y R5 = {(1, c),(2, a)} es un ejemplo de relación de B en A (notar que importa el orden). Sean A = B = R: R6 = {(x, y) ∈ R 2: x 2 = y 2} y R7 = {(x, y) ∈ R 2 : x = y 2} son relaciones de R en R, o, como veremos luego, relaciones en R Dados a ∈ A, b ∈ B y una relación R de A en B, se dice que a esta relacionado con b (por la relación R) si (a, b) ∈ R. En ese caso se escribe a R b. Si a no está relacionado con b, es decir (a, b) ∈ R/, se escribe a ̸Rb. En los ejemplos arriba, se tiene b R1 1 pero a ̸R1 2, a R4 b, ∀ a ∈ A, b ∈ B, y @ a ∈ A, @ b ∈ B tal que a R3 b. También, −2 R6 2 y 4 R7 − 2. Posibles representaciones graficas de las re...

OPERACIONES CON CONJUNTOS Sean A y B dos subconjuntos de un conjunto universal U . Definimos las siguientes operaciones entre conjuntos: Unión : A ∪ B = { x ∈ U : x ∈ A ó x ∈ B } Intersección : A ∩ B = { x ∈ U : x ∈ A y x ∈ B }             Propiedades: 1)         A ⊆ A ∪ B , B ⊆ A ∪ B A ∩ B ⊆ A , A ∩ B ⊆ B 2)         A ∪ ( B ∪ C ) ( = A ∪ B ) ∪ C   (propiedad asociativa de la unión) A ∩ ( B ∩ C ) ( = A ∩ B ) ∩ C   (propiedad asociativa de la intersección) 3)         A ∪ ( B ∩ C ) ( = A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C )   (propiedad distributiva)        A ∩ ( B ∪ C ) ( = A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )   (propiedad distributiva) 4)         ( A ∪ B ) c = A c ∩ B c   (leyes de Morgan)        ( A ∩ B ) c = A c ∪ B c 5)   ...

1. Consideremos el conjunto universo como U={x / x es un número dígito}, o lo que es equivalente a decir que U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.  Y tomemos dos subconjuntos de nuestro universo, los cuales serán: A={x / x es un número dígito primo}, o equivalente a A={2, 3, 5, 7}  y B={x / x  es un número dígito par}, o equivalente a B={2, 4, 6, 8}. Encontrar la unión, intersección, diferencia y complemento entre A y B. Solución: Primer paso. Primero dibujaremos nuetro diagrama de Venn en el cual distribuiremos nuestros elementos de los conjuntos A y B y del universo. (Ver figura 1) Figura 1 Segundo paso. Observa los dos conjuntos A y B y notarás que el 2 es el único elemento que aparece en ambos conjuntos, por lo tanto, irá en la parte donde se traslapan nuestros conjuntos en el diagrama de Venn. (Ver figura 2) Figura 2 Tercer paso . Ahora distribuiremos los demás elementos del conjunto A y del conjunto B a excepción del 2 que ya se...