Reforzando los Conocimientos

Las gráficas de las funciones cuadráticas tienen características que están estrechamente relacionadas con su forma simbólica. A medida que exploremos estas gráficas, aprenderemos a identificar estas características, y veremos algunas de las maneras de estructurar las ecuaciones cuadráticas.

Funciones lineales EJEMPLOS 1.  f  (x) = 5x + 13 2.  f  (x) = 24x 3.  f  (x) =  3x + 2x +7 4.  f  (x) = -5x +12 -3 5.  f  (x) = 7x Soluciones  a funciones lineales EJEMPLOS 1.  f  (x) = 5x + 13 m = la pendiente es 5 b = 13 2.  f  (x) = 24x m = la pendiente es 24 la recta no cruza el eje de las  y 3.  f  (x) =  3x + 2x +7 primero simplificamos: f  (x) =  5x +7 m = la pendiente es 5 b = 7 4.  f  (x) = -5x +12 -3 primero simplificamos: f  (x) = -5x +9 m = -5 b = 9 5.  f  (x) = 7x m = 7 la recta no cruza el eje de las  y

Una  función  (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, rango o ámbito). De manera más simple: Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera corresponde un único valor de la segunda. La función se puede ilustrar mediante un  diagrama  usando flechas para indicar la forma en que se asocian los elementos de los dos  conjuntos . Básicamente, hay tres formas para expresar una función: mediante una tabla de  valores  (como el ejemplo anterior), mediante una expresión algebraica o, como veremos luego, mediante una gráfica. Función constante Una función de la forma f(x) = b, donde...

Las relaciones  y las funciones  describen la interacción entre variables que están ligadas. Estas relaciones incluyen  valores independiente y entradas  que son las variables que pueden ser manipuladas por las circunstancias. También incluyen valores independiente y salidas  que son las variables determinadas por los valores independientes. Existe otro par de componentes que debemos considerar cuando hablamos de relaciones, se llaman dominio y rango . El dominio de una función o relación es el conjunto de todos los valores independientes posibles que una relación puede tener. Es la colección de todas las entradas posibles. El rango de una función o relación es el conjunto de todos los valores dependientes posibles que la relación puede producir. Es la colección de todas las salidas posibles. Al poner a todas las entradas y las salidas en grupos separados, el dominio y el rango nos permiten encontrar y explorar patrones en cada tipo de variable. ...

       E.1     a n  = 1, 2, 3, 4, 5, ...n      a n  = 1, 2, 3, 4, 5, ...n Es creciente. Está acotada inferiormente Cotas inferiores: 1, 0, -1, ... El mínimo es 1. No está acotada superiormente. Divergente E.2  a n  = -1, -2,-3, -4, -5, ... -n      a n  = -1, -2,-3, -4, -5, ... -n Es decreciente. Está acotada superiormente Cotas superiores: -1, 0, 1, ... El máximo es -1. No está acotada inferiormente. Divergente  E.3   a n  = 2, 3/2, 4/3, 5/4, ..., n+1 /n      a n  = 2, 3/2, 4/3, 5/4, ..., n+1 /n Es decreciente. Está acotada superiormente Cotas superiores: 2, 3, 4, ... El máximo es 2. Está acotada inferiormente Cotas inferiores: 1, 0, -1, ... El ínfimo es 1. Convergente, límite = 1. E.4 a n = 2, -4, 8, -16, 32, ..., (-1) n-1  2 n      a n = 2, -4, 8, -16, 32, ..., (-1) n-1  2 n No es monót...

Una inecuación es una expresión algebraica formada por números, una  variable que llamaremos   y un símbolo de desigualdad.ç   2x − 1 > 7 2x > 8     x > 4 (4, ∞) 2)      2x + y ≤ 3 2x + y = 3 x = 0;     2 · 0 + y = 3;   y = 3;          (0, 3) x = 1;     2 · 1 + y = 3;   y = 1;          (1, 1)

En la traducción del idioma ordinario al lenguaje simbólico, hemos visto que el planteamiento nos conduce con frecuencia a expresiones en las que se incluye el símbolo de la igualdad. Estas expresiones las delinimos en el tema de la Unidad Ill con el nombre de ecuaciones; dijimos que una ecuación es una Igualdad condicionada para ciertos valores de la variable. Encontrar esos valores que forman el conjunto solución es el proceso de resolver la ecuación o como también se le llama, el proceso de despejar la variable o incógnita. Como recordaremos, el proceso de resolver una ecuación o despejar una incógnita consiste en ir paso a paso transformando la ecuación dada en otra equivalente, utilizando para ello las propiedades de la Igualdad, postulados y teoremas ya demostrados.  EJEMPLOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES: 4x+6=2x+18⇒2x+6=18 2x+6=18⇒4x+6=2x+ 18 4x+6=2x+ 18⇔2x+6=18 2x + 6 = 18⇔ 2x = 12  2x = 12...

El álgebra normalmente requiere que seamos cuidadosos no sólo con el tamaño y el valor sino también con el signo. No es lo mismo -10 que 10. 3 + 7 nos da un resultado distinto que 3 + (-7). Pero hay circunstancias en las que el signo no importa, en matemáticas y en la vida cotidiana. ¿Alguna vez has tropezado al bajar de unas escaleras eléctricas? No importa tanto si te estás moviendo más rápido o más lento que el suelo, es la magnitud de la diferencia la que te hace perder el equilibrio. O piensa en una larga caminata por el campo, tus pies se lastimarán sin importar si vas hacia el norte o hacia el sur. La dirección no importa, sólo la distancia. En matemáticas, hay un concepto para tratar con situaciones donde el tamaño importa más que el signo. Se llama  valor absoluto . El valor absoluto de un número consiste en su valor, sin importar su signo. Valor Absoluto — Enfoque Numérico El valor absoluto puede ser explorado ya sea numérica o gráficamente. Numéricamente,...

Las  razones y proporciones , nosotros denominamos razón al cociente que es indicado por dos números y que representa la relación entre dos cantidades y una proporción a la igualdad que existe entre dos o más razones. Razón . Una razón indica en forma de división la relación entre dos cantidades. Nos indica cuántas unidades hay en relación a las otras, y se suele indicar simplificando las fracciones. Por ejemplo, si en un salón de clases tenemos 24 niñas y 18 niños, entonces lo representaremos de alguna de las siguientes formas: 24/18 24:18 Y como la fracción podemos simplificarla al dividirla entre 6, entonces tendremos: 4/3 4:3 Y se lee que existe una razón de 4 a 3, o de 4 por cada 3. Cada uno de los valores de una razón tiene un nombre. El valor que está del lado izquierdo de la relación, se le llama  antecedente , y al valor del lado derecho se le llama  consecuente . En este caso, la relación de niñas respecto a los niños es una relación de 4 a 3,...

Se llaman  expresiones algebraicas  a la combinación realizada con los términos, letras, números y siglas matemáticos, estos que son utilizados en forma exclusiva en el álgebra. Así la expresión algebraica se puede constituir con un término o signo  ( π )  o se conforma un término con varios símbolos ( πr 2 En las expresiones algebraicas, las letras representan valores que no conocemos y permiten realizar fórmulas universales. Ejemplos de expresiones algebraicas: 1.-  (x + 4) + x  = 26        2x + 4 = 26        2x        = 26 - 4        2x        = 22           x        = 22 / 2           x        = 11   2) (3/X + 1) – (1/X + 2) 3(X+2) – X – 1/(X + 1)*(X + 2) 2X – 5/X^2 + 3X + 2 3)   ...