Razonamiento

Ejemplo. Determinar cuáles de los razonamientos siguientes son validos. Construir demostraciones

para los razonamientos que lo sean y para los que no lo sean, explicar por que la conclusión no se sigue

de la hipótesis.

(a)

p ∧ q

p −→ r

∴ r ∧ q

(b)

p ∨ q

p −→ r

∴ r ∨ q

(c)

p −→ q

p −→ r

∴ r −→ q

Solución

(a) En efecto,

(p ∧ q) ∧ (p −→ r) ⇐⇒ (q ∧ p) ∧ (p −→ r) {Conmutatividad de ∧}

⇐⇒ q ∧ [p ∧ (p −→ r)] {Asociatividad de ∧}

=⇒ q ∧ r {Modus ponen}

=⇒ r ∧ q {Conmutatividad de ∧}

El razonamiento es válido.

(b) En efecto,

(p ∨ q) ∧ (p −→ r) =⇒ (¬q −→ p) ∧ (p −→ r) {Implicación}

=⇒ ¬q −→ r {Silogismo hipotético}

=⇒ ¬¬q ∨ r {Implicación}

⇐⇒ q ∨ r {Doble negoción}

⇐⇒ r ∨ q {Conmutatividad de ∨}

El razonamiento, por tanto, es válido.

(c) Veamos si el razonamiento es válido, es decir, si [(p −→ q) ∧ (p −→ r)] =⇒ (r −→ q).

Si (p −→ q)∧(p −→ r) es verdad, entonces p −→ q y p −→ r, ambas, han de ser verdad. Analizamos

las distintas opciones según los valores de verdad de p.

− Si p es verdad, entonces q y r han de ser verdad, luego r −→ q es verdad.

− Si p es falsa, entonces q y r pueden ser las dos verdad, las dos falsas o una falsa y la otra

verdad. En uno de los casos (r verdadera y q falsa) la conclusión, r −→ q es falsa.

Por lo tanto de la veracidad de la hipótesis no se sigue la veracidad de la conclusión y, consecuentemente,

el razonamiento no es válido.

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Ejemplo 3.6 Formular simbólicamente los siguientes razonamientos y determinar cuáles son validos.

Tomar:

p : Estudio mucho.

q : Obtengo C como calificación.

r : Me hago rico.

(a)

Si estudio mucho, entonces obtengo C como calificación.

Estudio mucho.

∴ Obtengo C como calificación.

(b)

Si estudio mucho, entonces obtengo C como calificación.

Si no me hago rico, entonces no obtengo C como calificación.

∴ Me hago rico.

(c)

Estudio mucho si y solo si me hago rico.

Me hago rico.

∴ Estudio mucho.

(d)

Si estudio mucho o me hago rico, entonces obtengo C como calificación.

Obtengo C como calificación.

∴ Si no estudio mucho, entonces me hago rico.

(e)

Si estudio mucho, entonces obtengo C como calificación o me hago rico.

No obtengo C como calificación y no me hago rico.

∴ No estudio mucho.

Solución

(a) La regla de inferencia en notación simbólica es

p −→ q

p

∴ q

Conocida con el nombre de Modus ponen, luego el razonamiento es válido.

(b) La regla de inferencia en notación simbólica es

p −→ q

¬r −→ ¬q

∴ r

Observemos lo siguiente:

(p −→ q) ∧ (¬r −→ ¬q) ⇐⇒ (p −→ q) ∧ (q −→ r) {Contra recíproca}

=⇒ p −→ r {Silogismo Hipotético}

Por tanto, la conclusión es

Estudio mucho o me hago rico

es decir, el razonamiento no es válido.

(c) La regla de inferencia en notación simbólica es

p ←→ r

r

∴ p

Veamos si [(p ←→ r) ∧ r] =⇒ p. En efecto, si (p ←→ r) ∧ r es verdad, entonces p ←→ r y r han de

ser, ambas, verdad, luego p también será verdad y, consecuentemente, el razonamiento es válido.

(d) La regla de inferencia en notación simbólica es:

(p ∨ r) −→ q

q

∴ ¬p −→ r

Si ¬p −→ r es falsa, entonces ¬p es verdad y r falsa, es decir p y r son, las dos, falsas, luego

(p ∨ r) −→ q es verdad independientemente del valor de verdad que tenga q, de aquí que el

Valor de verdad de [(p ∨ r) −→ q] ∧ q dependa del de q, es decir, podrá ser verdadera o falsa y,

Consecuentemente, el razonamiento no sea válido.

(e) La regla de inferencia en notación simbólica es:

p −→ (q ∨ r)

¬q ∧ ¬r

∴ ¬p

Observemos lo siguiente:

[p −→ (q ∨ r)] ∧ (¬q ∧ ¬r) ⇐⇒ [p −→ (q ∨ r)] ∧ [¬(q ∨ r)] {De Morgan}

=⇒ ¬p {Modus Tollens}

Por tanto, el razonamiento es válido.

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Ejemplo 3.7 Expresar verbalmente los razonamientos dados y establecer la validez de los mismos.

Tomar:

p : 1Gb es mejor que nada.

q : Compraremos mayor capacidad de memoria.

r : Compraremos un ordenador nuevo.

(a)

p −→ r

p −→ q

∴ p −→ (r ∧ q)

(b)

p −→ (r ∨ q)

r −→ ¬q

∴ p −→ r

(c)

p −→ r

r −→ q

∴ q

(d)

¬r −→ ¬p

r

∴ p

67

 (e)

p −→ r

r −→ q

p

∴ q

Solución

(a) La forma verbal del razonamiento sería:

Si 1Gb es mejor que nada, entonces compraremos un ordenador nuevo.

Si 1Gb es mejor que nada, entonces compraremos mayor capacidad de memoria.

∴ Si 1GB es mejor que nada, entonces compraremos un ordenador nuevo y mayor

Capacidad de memoria.

Entonces,

(p −→ r) ∧ (p −→ q) ⇐⇒ (¬p ∨ r) ∧ (¬p ∨ q) {Implicación}

⇐⇒ ¬p ∨ (r ∧ q) {Distributivita de ∨ respecto de ∧}

⇐⇒ p −→ (r ∧ q) {Implicación}

Por lo tanto, el razonamiento es válido.

(b) En forma verbal, el razonamiento es

Si 1Gb es mejor que nada, entonces compraremos un ordenador nuevo o

mayor capacidad de memoria.

Si compramos un ordenador nuevo, entonces no compraremos mayor capacidad

de memoria.

∴ Si 1Gb es mejor que nada, entonces compraremos un ordenador nuevo.

Pues bien, si p −→ r es falso, entonces p es verdad y r es falso, luego r −→ ¬q es verdad independientemente

Del valor de verdad de q y el valor de verdad de [p −→ (r ∨ q)]∧(r −→ ¬q) dependerá

Del de p −→ (r ∨ q) que, a su vez, depende del que tenga q.

− Si q es verdad, entonces p −→ (r ∨ q) es verdad y, por lo tanto, [p −→ (r ∨ q)] ∧ (r −→ ¬q) es

Verdad.

− Si q es falso, entonces p −→ (r ∨ q) es verdad y, por lo tanto, [p −→ (r ∨ q)] ∧ (r −→ ¬q) es

Falso.

Consecuentemente, el razonamiento no es válido.

(c) El razonamiento seria,

Si 1Gb es mejor que nada, entonces compraremos un ordenador nuevo.

Si compramos un ordenador nuevo, entonces compraremos mayor capacidad de memoria.

∴ Compraremos mayor capacidad de memoria.

Estudiemos la validez del razonamiento. Por el silogismo hipotético,

[(p −→ r) ∧ (r −→ q)] =⇒ (p −→ q)

Pero p −→ q no implica lógicamente q. En efecto, si p −→ q es verdad, entonces pueden ocurrir

Dos cosas:

si p es verdad, q ha de ser también verdad.

si p es falso, q puede ser verdad o falso.

Consecuentemente, el razonamiento no es válido.

 (d) La forma verbal del razonamiento sería:

Si no compramos un ordenador nuevo, entonces 1GB no es mejor que nada.

Compraremos un ordenador nuevo.

∴ 1Gb es mejor que nada.

Estudiemos su validez.

Si [(¬r −→ ¬p) ∧ r] es verdad, entonces ¬r −→ ¬p y r han de ser, ambas, verdad, de aquí que ¬r

sea falsa y ¬p y, por lo tanto, p pueda ser verdad o falsa.

Así pues, de la veracidad de [(¬r −→ ¬p) ∧ r] no se sigue la veracidad de p, luego la primera

Proposición no implica lógicamente la segunda y, consecuentemente, el razonamiento no es válido.

(e) El razonamiento en forma verbal es,

Si 1Gb es mejor que nada, entonces compraremos un ordenador nuevo.

Si compramos un ordenador nuevo, entonces compraremos mayor capacidad de memoria.

1Gb es mejor que nada.

∴ Compraremos mayor capacidad de memoria.

Veamos el razonamiento:

(p −→ r) ∧ (r −→ q) ∧ q =⇒ (p −→ q) ∧ p {Silogismo Hipotético}

=⇒ q {Modus Ponens}

por lo tanto es válido.