Demostracion

3 Demostrar que el cuadrado de un número entero par también es par.

Demostración

El teorema a demostrar escrito en forma de condicional, sería

“Para cualquier entero n, si n es par, entonces n

2

Es par”

Que se corresponde con el esquema

∀n

p(n) −→ p(n

2

)

Donde

p(n): n es par.

Y el universo del discurso son todos los números enteros.

Pues bien, sea n un número entero cualquiera.

Si n es par, entonces por la definición que vimos en el ejemplo 3.3.9, existir ‘a un número entero k

Tal que

n = 2k

De aquí que elevando al cuadrado, obtengamos

N

2 = 4k

2 = 2(2k

2

)

Y como el cuadrado de un número entero también es entero, 2k

2

Será entero (lo llamaremos m).

Así pues, hemos encontrado un entero m tal que

N

2 = 2m.

Por lo tanto, y utilizando de nuevo la definición 3.3.9, concluimos que

N

2

Es par.

Aunque este ejemplo es bastante sencillo, el desarrollo lógico de la demostración es idéntico al de otros

Teoremas de contenidos más complicados. Observemos, una vez más, el camino seguido a través de

Implicaciones.

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Universidad de Cádiz Departamento de Maten áticas

Sea n cualquier número entero. Entonces,

N es par =⇒ ∃k: n = 2k {Ejemplo 3.3.9}

=⇒ n

2 = 4k

2 {Elevando al cuadrado}

=⇒ ∃m: n

2 = 2m

Tomando m = 2k

2

               

=⇒ n

2

Es par